Question

【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設Q為曲線C上的一個不在軸上的動點，O為坐標原點，過點作OQ的平行線交曲線C于M,N兩個不同的點, 求△QMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）由已知條件推導出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，從而得到圓心P的軌跡為以F1，F2為焦點的橢圓，由此能求出圓心P的軌跡C的方程;（2）由MN∥OQ，知△QMN的面積=△OMN的面積，聯立直線和橢圓得到二次方程，根據韋達定理和弦長公式得到△的面積，由此能求出△QMN的面積的最大值．

解析：（Ⅰ）設圓的半徑為, 圓心的坐標為，

由于動圓與圓相切，且與圓相內切，

所以動圓與圓只能內切.

所以

則.

所以圓心的軌跡是以點為焦點的橢圓,

且, 則.

所以曲線的方程為.

（Ⅱ）設，直線的方程為，

由 可得，

則.

所以

因為，所以△的面積等于△的面積.

點到直線的距離.

所以△的面積.

令，則 ，.

設，則.

因為, 所以

所以在上單調遞增.

所以當時, 取得最小值, 其值為.

所以△的面積的最大值為.

說明: △的面積.