Question

已知函數f（x）=2x-2lnx
（Ⅰ）求函數在（1，f（1））的切線方程
（Ⅱ）求函數f（x）的極值
（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的陪伴切線．已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的陪伴切線l的方程．

Answer 1

解：（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×
∴函數y=2x-2lnx在x=1處的切線斜率為0，
又∵切點坐標為（1，2）
切線方程為y=2；
（Ⅱ）．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=1時，f（x）取得極小值f（1）=2． 沒有極大值． …（9分）
（Ⅲ）設切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為．
弦AB的斜率為． …（10分）
由已知得，l∥AB，則=，解得x₀=e-1，代入函數式得y₀=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切點坐標（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由點斜式寫出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=（x-e-1），即：，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：．…（13分）
分析：（I）利用切線的斜率是函數在切點處導數，求出切線斜率，再利用直線方程的點斜式求出切線方程．
（II）首先對函數求導，使得導函數等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當f′（x）＞0，即x＞1；當f′（x）＜0，即0＜x＜1時，列表做出函數的極值點，求出極值．
（III）設出切點坐標，根據坐標表示出切線的斜率，然后把切點的橫坐標代入到曲線的導函數中得到切線的斜率，根據伴隨切線的含義寫出弦AB的伴隨切線l的方程即可．
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數極值的求法，本題解題的關鍵是對函數求導，求出導函數等于0時對應的變量的取值，再進行討論，本題是一個中檔題目，這個知識點一般出現在綜合題目中．