Question

已知函數．
（1）若函數在區間其中a >0，上存在極值，求實數a的取值范圍；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍.

Answer 1

（1）;（2） ．

試題分析：（1）由于函數是一個確定的具體的函數，所以它的極值點也是確定的；故我們只須應用導數求出函數的極值點，注意定義域；讓極值點屬于區間可得到關于a的不等式，從而就可求出實數a的取值范圍；（2）顯然不等式等價于：因此當時，不等式恒成立其中，所以利用函數的導數求出的最小值即可．
試題解析：（1）因為， x >0，則，
當時，；當時，．
所以在（0，1）上單調遞增；在上單調遞減，
所以函數在處取得極大值．            
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以 解得．               
（2）不等式即為 記
所以  
令，則，                      
，    
在上單調遞增，                          
，從而，
故在上也單調遞增， 所以，所以 ．