Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+a滿足條件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，且方程f（x）=7x+a有兩個相等的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，n（0＜m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[

3

n

，

3

m

]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數f（x）=ax²+bx+a滿足條件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，可知函數的對稱軸，利用方程f（x）=7x+a有兩個相等的實根，可得其判別式為0，從而可求f（x）的解析式；
（2）構建函數 g(x)=

3

x

（x＞0），則當f（x）=g（x）時，即-2x2+7x-2=

x

3

，利用f(x)max=

4ac-b2

4a

=

33

8

，此時，x=

7

4

∈[1，3]，可知

3

f(x)max

=

8

11

＜1，故取 m=

8

11

，當x=3時，f（x）_min=1，即

3

f(x)min

=3≥3．故取n=3，從而問題得解．

解答：解：（1）因為 二次函數f（x）=ax²+bx+a滿足條件f(x+

7

4

)=f(

7

4

-x)，
所以f（x）=ax²+bx+a=ax2-

7

2

ax+a，
∴b=-

7

2

a
又因為方程f（x）=7x+a有連個相等的實數根，即ax2-(

7

2

a+7)x=o有兩個相等的實數根．
所以△=(

7

2

a+7)2-4a•0=0，
解得a=-2，
∴b=7
故f（x）=-2x²+7x-2．…（ （6分）  ）
（2）存在．如圖所示：
設 g(x)=

3

x

（x＞0），則當f（x）=g（x）時，即-2x2+7x-2=

x

3

化簡得：2x³-7x²+2x+3=0，故（x-3）（2x²-x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，x₃=-

1

2

（舍去）
因為f(x)max=

4ac-b2

4a

=

33

8

，此時，x=

7

4

∈[1，3]，
所以

3

f(x)max

=

8

11

＜1，故取 m=

8

11

，
當x=3時，f（x）_min=1，即

3

f(x)min

=3≥3．故取n=3
綜上，取m=

8

11

，n=3時，f（x）=-2x²+7x-2在[

8

11

，3]上的值域是[1，

33

8

]．…（14分）

點評：本題重點考查函數的解析式，考查函數的定義域與值域，考查存在性問題，考查數形結合的思想，綜合性強．