Question

（2008•盧灣區一模）在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=75°，點D在AB上，且CD=10．
（1）若點D與點A重合，試求線段AB的長；
（2）在下列各題中，任選一題，并寫出計算過程，求出結果．
①（解答本題，最多可得6分）若CD⊥AB，求線段AB的長；
②（解答本題，最多可得8分）若CD平分∠ACB，求線段AB的長；
③（解答本題，最多可得10分）若點D為線段AB的中點，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）先由A和B的度數求出C的度數，若點D與點A重合，DC即為AC的長，故由AC，sinB及sinC的值，利用正弦定理即可求出AB的長；
（2）若選①，由A和B的度數求出∠ACB的度數，根據CD與AB垂直，由A的度數求出∠ACD的度數，進而得到∠BCD的度數，在直角三角形ACD中，由CD的長及tan∠ACD的值，求出AD的長，在直角三角形BCD中，由tan∠BCD及CD的長，求出BD的長，利用AD+DB即可求出AB的長；
若選②，由A和B的度數求出∠ACB的度數，根據CD為角平分線，可得∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB，在三角形ACD中，由CD，sinA及sin∠ACD的值，利用正弦定理求出AD的長，同理在三角形BCD中，由CD，sinB及sin∠BCD的值，利用正弦定理求出BD的長，根據AD+DB=AB，即可求出AB的長；
若選③，延長CD到E，使ED=CD，連接AE及BE，由D為AB中點，根據對角線互相平方的四邊形為平行四邊形可得ACBE為平行四邊形，得到兩組對邊相等，在三角形ACE中，根據余弦定理表示出CE²=AC²+AE²-2AC•AE•cos∠CAE，且由AE與CB平行，根據∠ACB的度數求出∠CAE的度數，BC=AE，同時根據正弦定理，用sinB，sin∠ACB及AB表示出AE積AC，代入表示出的式子中，得到關于AB的方程，求出方程的解得到AB的長．

解答：解：（1）∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又sin75° =sin(45° +30° )=

6 + 2

4

，
由正弦定理，得AB=

AC•sin∠ACB

sin∠B

=

10sin60°

sin75°

=15

2

-5

6

；
（2）根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

若選①，如圖①所示：
若CD⊥AB，∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°-15°=45°，又∠A=45°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD=10，又∠BCD=15°，由cos15°=sin75° =

6 + 2

4

，
得sin15° =

6 - 2

4

，tan15° =2-

3

，
故BD=10tan∠BCD=20-10

3

，AB=AD+DB=30-10

3

；
若選②，如圖②所示：
∵∠A=45°，∠B=75°，
∴∠ACB=60°，又CD為角平分線，
∴∠ACD=∠BCD=30°，得AD=

10sin∠ACD

sinA

=5

2

，BD=

10sin∠BCD

sinB

=5(

6

-

2

)，AB=AD+DB=5

6

；
若選③，根據正弦定理得：AC=

ABsinB

sin∠ACB

=

ABsin75°

sin60°

，BC=

ABsinA

sin∠ACB

=

ABsin45°

sin60°

，
如圖③所示：延長CD到E，使DE=CD，連接EA、EB，
由余弦定理可得CE²=AC²+AE²-2AC•AE•cos∠CAE，
又cos∠CAE=cos（π-∠ACB）=-cos∠ACB，BC=AE，
得（2CD）²+AB²=2AC²+2BC²，
即400+AB2=

AB2( 6 + 2 )2

2•3

+

4AB2

3

，
解得：AB=

1200 5+2 3

．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，銳角三角形函數定義及特殊角的三角函數值，第二問是多選一的問題，學生只需選擇一個解答即可．正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．