Question

已知奇函數f（x）=log₂（a+x）-log₂（a-x）（a＞0），定義域為（b，b+2）（定義域是指使表達式有意義的實數x的集合）．
（1）求實數a和b的值，并證明函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）設f（x）的反函數為f^-1（x），若不等式f^-1（x）≤m•2^x對于x∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函數的定義域關于原點對稱求出b的值，再根據f（x）為奇函數，有f（-x）=-f（x），由此等式解出a的值，最后利用單調性的定義說明不函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）根據反函數的定義求出原函數的反函數f^-1（x）═

2x-1

2x+1

(x∈R)，再由f^-1（x）≤m•2^x即m≥

2x-1

2x(2x+1)

，此式對于x∈[1，2]恒成立，再利用換元結合基本不等式得到

2x-1

2x(2x+1)

有最大值為3-2

2

，從而求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵奇函數的定義域關于原點對稱，∴b+b+2=0⇒b=-1，∴定義域為（-1，1），
從而

x＞-a x＜a

（a＞0）的解集為（-1，1），∴a=1，
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x)=log2

1+x

1-x

，
設-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2(

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

)=log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)，
由-1＜x₁＜x₂＜1⇒0＜1+x₁＜1+x₂且0＜1-x₂＜1-x₁⇒0＜

1+x1

1+x2

＜1且0＜

1-x2

1-x1

＜1
⇒0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1⇒log2(

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

)＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在其定義域上是增函數
（2）令f（x）=y，則2y=

1+x

1-x

⇒2^y-x•2^y=1+x⇒x=

2y-1

2y+1

（y∈R），
∴反函數f^-1（x）═

2x-1

2x+1

(x∈R)，由f^-1（x）≤m•2^x⇒

2x-1

2x+1

≤m•2x，整理得m≥

2x-1

2x(2x+1)

，此式對于x∈[1，2]恒成立，令2^x-1=t，則t∈[1，3]，

2x-1

2x(2x+1)

=

t

t2+3t+2

=

1

t+ 2 t +3

≤

1

2 2 +3

=3-2

2

，
當t=

2

t

，即t=

2

∈[1，3]時上式成立等號，即

2x-1

2x(2x+1)

有最大值為3-2

2

，
∴m≥3-2

2

．

點評：本小題主要考查函數單調性、函數奇偶性的應用、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．