Question

已知函數f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx(ω＞0)，且函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）若將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位長度，再將所得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為sin（2ωx-

π

6

)+

1

2

，再根據它的最小正周期求出ω的值．
（2）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，求出g(x)=sin(

1

2

x-

π

3

)+

1

2

，令2kπ+

π

2

＜

1

2

x-

π

3

＜2kπ+

3

2

π，k∈Z，求出x的范圍，即可求得g（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）由題知f(x)=sin2ωx+

3

cosωxsinωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

)+

1

2

，
又f（x）的最小正周期為π．所以

2π

2ω

=π，所以，ω=1．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，將f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

的圖象向右平移

π

12

個單位長度，
得到的圖象C₁對應的函數解析式為f1(x)=sin(2x-

π

3

)+

1

2

，再將圖象C₁上各點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），
得到的圖象C對應的函數解析式為y=g(x)=sin(

1

2

x-

π

3

)+

1

2

．
由2kπ+

π

2

＜

1

2

x-

π

3

＜2kπ+

3

2

π（k∈Z），得4kπ+

5

3

π＜x＜4kπ+

11

3

π，
所以函數g（x）的單調遞減區間為(4kπ+

5

3

π，4kπ+

11

3

π)（k∈Z）．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、二倍角公式的應用，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，復合三角函數的單調性，屬于中檔題．