Question

（本小題滿分12分） 設的極小值為，其導函數的圖像開口向下且經過點，.

（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）方程有唯一實數解，求的取值范圍.

(Ⅲ)若對都有恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；(2)  ；（3）

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）利用幾何意義得到導數的方程的兩個根，然后求解元解析式。

（2）因為方程有唯一解，可以分離參數的思想得到參數的取值范圍。

（3）要研究函數在給定區間恒成立問題，只要求解函數的最值即可。

解：（1），且的圖象過點     …………2分

∴，由圖象可知函數在上單調遞減，在 上單調遞增，在上單調遞減，(不說明單調區間應扣分)

∴，即，解得

∴                …………4分

(2) ,又因為=-8.

由圖像知,,即    …………8分

（3）要使對都有成立，只需

由（1）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，

在上單調遞減，且，

                 …………10分

∴.           

故所求的實數m的取值范圍為…………12分