Question

已知數列中，，且．為數列的前項和，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項的和；
（3）證明對一切，有．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查數列的通項公式、遞推公式、裂項相消法、數學歸納法、錯位相減法等基礎知識，考查學生分析問題解決問題的能力，轉化能力和計算能力.第一問，用n-1代替中的n，得到一個等式，2個等式相減，得到，分n為奇數偶數進行討論，分別求出的通項公式，由于得到的式子相同，所以的通項公式就是；第二問，要求數列的前n項和，關鍵是需要求出的通項公式，可以利用已知的遞推公式進行推導，也可以利用數學歸納法猜想證明，得到的通項公式后，代入到中，得到的通項公式，最后用錯位相減法進行求和；第三問，先用放縮法對原式進行變形，再用裂項相消法求和，最后和作比較.
試題解析：（1）由已知得，，，
由題意，即，當n為奇數時，；當n為偶數時，.
所以.4分
（2）解法一：由已知，對有，
兩邊同除以，得，即，
于是，==，
即，，所以=，
，，又時也成立，故，.
所以，8分
解法二：也可以歸納、猜想得出，然后用數學歸納法證明．
（3）當，有，
所以時，有

=.
當時，.故對一切，有.14分求；2.錯位相減法；3.數學歸納法；4.裂項相消法.