Question

（本題滿分12分）

已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F₁(－c,0)，F₂(c,0)，若雙曲線上存在一點P，使＝，求雙曲線的離心率的范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

解：根據已知，點P不是雙曲線的頂點，否則＝無意義．

因為在△PF₁F₂中，由正弦定理得＝.

又由已知，得＝，    ………………3分

即|PF₁|＝|PF₂|，且點P在雙曲線的右支上．

由雙曲線的定義，知|PF₁|－|PF₂|＝2a，

則|PF₂|－|PF₂|＝2a，即|PF₂|＝.              …………6分

由雙曲線的幾何性質，知|PF₂|>c－a，則>c－a，

即c²－2ac－a²<0，  ………………9分

所以e²－2e－1<0，

解得－＋1<e<＋1.    …………11分

又e>1，故雙曲線的離心率e∈(1，＋1)．    …………12分

 

【解析】略