Question

設函數.

（Ⅰ）求f (x)的單調區間；

（Ⅱ）若當時，不等式f (x)<m恒成立，求實數m的取值范圍；

（Ⅲ）若關于x的方程在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f (x)的遞增區間是，遞減區間是（-1, 0）

（Ⅱ）當時，不等式f (x)<m恒成立.（Ⅲ）a的取值范圍是

解析:

（Ⅰ）函數的定義域為（-1, +∞）.…………………………………………… 1分

          ∵ , 

由，得x>0；由，得.………………… 3分

∴ f (x)的遞增區間是，遞減區間是（-1, 0）.………………… 4分

（Ⅱ）∵ 由，得x=0,x=-2（舍去）

由（Ⅰ）知f (x)在上遞減，在上遞增. 

高三數學（理科）答案第3頁（共6頁）

又 ， , 且.

∴ 當時，f (x)的最大值為.

故當時，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分

（Ⅲ）方程,  .

      記,

      ∵ ,  

由,得x>1或x<-1（舍去）.   由, 得.

             ∴ g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.

             為使方程在區間[0, 2]上恰好有兩個相異的實根，

            只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個實數根,于是有

            ∵ , 

∴ 實數a的取值范圍是 .