Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=（

1

2

）^x．
（Ⅰ） 求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ） 在所給坐標系中畫出函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用函數的奇偶性求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ） 根據函數的表達式作出函數的圖象，根據函數的圖象寫出函數的單調區間．

解答：解　（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
當x＜0時，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-(

1

2

)-x=-2^x．
∴函數的解析式為f（x）=

-2x，x＜0 0，x=0 ( 1 2 )x，x＞0

．
（Ⅱ）函數圖象如圖所示：

通過函數的圖象可以知道，f（x）的單調遞減區間是（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數的圖象的畫法，比較基礎．