Question

(本小題滿分12分)

在等腰直角三角形ABC中，D是斜邊BC的中點(diǎn)，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°.

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABD；

（Ⅱ）求二面角A—BC—D的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥CD.又∠BDC＝90°，所以BD⊥CD. 因?yàn)锳D與BD交于點(diǎn)D，所以CD⊥面ABD.    

(Ⅱ)   .       

解析:

（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥CD.    （2分）

又∠BDC＝90°，所以BD⊥CD. 因?yàn)锳D與BD交于點(diǎn)D，所以CD⊥面ABD.      （5分）

(Ⅱ) 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連DE、AE

因?yàn)锳B＝AC，則AE⊥BC. 因?yàn)锽D＝CD，則DE⊥BC.

所以∠AED為二面角A—BC—D的平面角.                                      （7分）

因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD.

設(shè)AD＝1，則BD＝DC＝1，AB＝AC＝BC＝.

從而△ABC是正三角形，所以AE＝.                            （10分）

在Rt△ADE中，sin∠AED＝.                                       （11分）

所以cos∠AED＝，故二面角A—BC—D的余弦值為.                     （12分）