Question

（理）已知以a為首項的數列{a_n}滿足：an+1=

an-3，an＞3 2an，an≤3.

（1）若0＜a_n≤6，求證：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n對任意正整數n都成立的k與a；
（3）若a=

3

2m-1

（m∈N﹡），試求數列{a_n}的前4m+2項的和s_4m+2．

Answer 1

分析：（1）分當a_n∈（0，3]時和當a_n∈（3，6]時，分別求出a_n+1的范圍，得到要證的不等式．
（2）當a=1時，利用通項求出a₂=2，a₃=4，a₄=1，得到滿足題意的k=3t，t∈N*．同理可得，a取其他值時k的取值，
（3）通過解不等式判斷出項的取值范圍，從而判斷出項之間的關系，選擇合適的求和方法求出和．

解答：解：（1）當a_n∈（0，3]時，則a_n+1=2a_n∈（0，6]，
當a_n∈（3，6]時，則a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，
所以當0＜a_n≤6時，總有0＜a_n+1≤6．　 …（5分）
（2）①當a=1時，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k=3t，t∈N*．
同理可得，當a=2或4時，滿足題意的k=3t，t∈N*．
當a=3或6時，滿足題意的k=2t，t∈N*．
②當a=5時，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故滿足題意的k不存在．
③當a≥7時，由（1）知，滿足題意的k不存在．
綜上得：當a=1，2，4時，滿足題意的k=3t，t∈N*；
當a=3，6時，滿足題意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故a=

3

2m-1

≤3，
當1＜k≤m時，2k-1a≤

3×2m-1

2m-1

=

3×2m-1

2m-1+(2m-1-1)

＜

3×2m-1

2m-1

=3．
故a_k=2^k-1a且a_m+1=2^ma．又am+1=

3×2m

2m-1

＞3，-------（15分）
所以am+2=am+1-3=2ma-3=2m•

3

2m-1

-3=a．
故S_4m+2=S_4（m+1）-a_4m+3-a_4m+4=4（a₁+a₂+•…+a_m+1）-（2^m-1+2^m）a
=4（1+2+…+2^m）a-3×2^m-1a=4（2^m+1-1）a-3×2^m-1a
=(2m+3-4-3×2m-1)a=

39×2m-1-12

2m-1

．　　　  　…（18分）

點評：解決睡了的求和問題，關鍵是求出數列的通項，然后根據數列通項的特點選擇合適的求和方法．