Question

已知橢圓的一個焦點為F(2,0),對應準線為x=3,離心率e=.

       (1)求橢圓的方程;

       (2)橢圓上是否存在兩點A、B,與直線y=x上兩點C、D構成矩形ABCD,使其面積取最大值?若存在,求直線AB的方程;若不存在,請說明理由.

      

Answer 1

解析:(1)設P(x,　y)為橢圓上的任一點,?

       由題意得,?

       化簡得=1.?

       (2)假設A、B存在,設直線AB的方程為y=x+b,?

       則A、B兩點的坐標是的解,?

       消去y得4x²+6bx+3b²-12=0,(*)?

       x₁+x₂=-b,x₁x₂=.?

       ∴|x₁-x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=12-b².?

       ∴|AB|=.?

       直線AB與y=x的距離d=|b|.?

       ∴矩形ABCD的面積為S=|AB|·d=·|b|?

       =.?

       ∴當b²=8,即b=±2時,S取最大值.?

       又∵b=±2時(*)的Δ=36b²-16(3b²-12)=96>0,?

       ∴滿足條件的A、B存在,直線AB的方程為y=x±2.