Question

將邊長為2，銳角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD點E、F分別為AC、BD的中點，則下列命題中正確的是

②③④⑤

．（將正確的命題序號全填上）
①EF∥AB     ②EF⊥AC       ③EF⊥BD     ④當四面體ABCD的體積最大時，AC=

6

  ⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后直線和平面的位置關系，根據空間直線和平面的位置關系進行判斷．

解答：解：①如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，∴①不正確．
②∵CF=AF，E為AC中點，∴EF⊥AC，∴②正確．
③由等腰三角形的中線性質得 CF⊥BD，AF⊥BD，
∴DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，∴EF⊥BD，∴③正確．
④當四面體ABCD的體積最大時，∵等邊△ABD的面積為定值，
∴只要四面體ABCD的高最大即可．
即當面CBD⊥面ABD，CF為四面體的高，
此時CF⊥AF．
且CF=AF=

3

．
∴AC=

CF2+AF2

=

3+3

=

6

，∴④正確．
⑤由DB⊥面ACF得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點評：本題主要考查空間直線和平面位置關系的判斷，注意要和變換之前的菱形進行對比，確定量的變化情況．