Question

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式和值域；

（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，

求之；若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由恒成立等價于恒成立，…1分

從而得：，化簡得，從而得，

所以，………3分

其值域為.…………………4分

（2）解：當時，數列在這個區間上是遞增數列，證明如下：

設，則，

所以對一切，均有；………………7分

從而得，即，所以數列在區間上是遞增數列…10分

注：本題的區間也可以是、、等無窮多個.

另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則

即…7分

又當時，，

∴對一切，均有且，

∴數列在區間上是遞增數列.…………………………10分

（3）（文科）由（2）知，從而；

，

即；  ………12分

令，則有且；

從而有，可得，

∴數列是以為首項，公比為的等比數列，………14分

從而得，即，

∴ ，

∴，∴， …16分

∴，

.    ………………………18分

（3）（理科）由（2）知，從而；

，

即；………12分

令，則有且；

從而有，可得，所以數列是為首項，公比為的等比數列，…………………14分

從而得，即，

所以 ，

所以，所以，

所以，

.………………………16分

即，所以，恒成立

（1）當n為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為。

（2）當n為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值為。

所以，對任意，有。又非零整數，…………18分

【解析】略