Question

已知函數，，．

⑴求函數的單調區間；

⑵記函數，當時，在上有且只有一個極值點，求實   數的取值范圍；

⑶記函數，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，為單調增區間，

當時，為單調減區間， 為單調增區間．

（2）要證明存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．，要結合極值點的函數值來得到。

【解析】

試題分析：（1）因為，

①若，則，在上為增函數，          2分

②若，令，得，

當時，；當時，．

所以為單調減區間，為單調增區間．

綜上可得，當時，為單調增區間，

當時，為單調減區間， 為單調增區間．     4分

（2）時，，

，                     5分

在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，

由得，                      6分

（ⅰ），，滿足題意；                      7分

（ⅱ）時，，即；               8分

（ⅲ）時，，得，故；

綜上得：在上有且只有一個極值點時，．            9分

注：本題也可分離變量求得．

（3）證明：由（1）可知：

（ⅰ）若，則，在上為單調增函數，

所以直線與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意．        10分

（ⅱ）若，在處取得極值．

若，時，由圖象知不可能有兩個切點．          11分

故，設圖象與軸的兩個交點的橫坐標為（不妨設），

則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．

，，

設切點分別為，則，且

，，，

即， ①

， ②

，③

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，

即，                        14分

令，則，令，因為，，

故存在，使得，

即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．        16分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了分類討論思想求解函數單調性以及導數的幾何意義的運用，屬于難度題。