Question

{x_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，

opi

=（x_i，

1

xi

），（i=1，2，…，n），

op

=

n

i=1

opi，

om

=(0，t)，若

op

⊥

om

，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：根據向量的坐標運算法則和等比數列求和公式，算出

op

=

n

i=1

opi=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1），由

op

⊥

om

建立關于t、n的等式，解出t=

1

2n-1

，最后根據n∈N^*計算分式函數的值域，即可求得實數t的取值范圍．

解答：解：∵{x_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，

opi

=(xi，

1

xi

)（i=1，2，…，n），
∴

op

=

n

i=1

opi=（x₁+x₂+…+x_n，

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）
=（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

，1+2+2²+…+2^n-1）
=（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

，

1-2n

1-2

）=（2-

1

2n-1

，2ⁿ-1）
∵

op

⊥

om

，

om

=(0，t)
∴（2-

1

2n-1

）•0+（2ⁿ-1）•t=0，解得t=

1

2n-1

∵n∈N^*，∴2ⁿ-1≥1，可得

1

2n-1

∈（0，1]，即實數t的取值范圍為（0，1]．

點評：本題著重考查了向量的坐標運算法則、向量數量積公式及其運算性質、等比數列的通項與求和、函數值域的求法等知識，屬于中檔題．