Question

某次足球賽共有12支球隊參加，分三個階段進行：

（1）小組賽：經抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進行單循環比賽，以積分及凈剩球數取前兩名；

（2）半決賽：甲組的第一名與乙組的第二名，乙組的第一名與甲組的第二名作主客場交叉淘汰賽（每兩隊主客場各賽一場）決出勝者；

（3）決賽：兩個勝者參加決賽一場，決出勝負.問全部賽程共需比賽多少場？

Answer 1

思路解析：本題考查利用組合數公式分析解決問題的能力.合理分類是解答本題的關鍵.

解：（1）小組賽中每組6隊進行單循環比賽，就是6支球隊的任兩支球隊都要比賽一次，所需比賽的場次即為從6個元素中任取2個元素的組合數，所以小組賽共要比賽2C=2×=30（場）.

（2）半決賽中甲組第一名與乙組第二名（乙組的第一名與甲組的第二名）主客場各賽一場，所需比賽的場次即為從2個元素中任取2個元素的排列數，所以半決賽共要比賽2A=2×1×2=4（場）.

（3）決賽只需比賽一場，即可決出勝負.

所以全部賽程共需比賽30+4+1=35（場）.

方法歸納  明確“怎樣才算完成一件事情”是正確解答排列與組合問題的關鍵.若一個事件恰好與一個排列或一個組合相對應，則所求事件的個數就是排列數或組合數.熟記一些常見的對應則顯得尤為關鍵了.如，一條直線與平面內兩個不同的點一一對應；一個平面與不共線的三個點一一對應；一個四面體與不共面的四點一一對應.