Question

已知奇函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1處取得極大值2．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的最小值；
（3）若關于p的一元二次方程p²-2mp+4=0兩個根均大于1，求函數g(x)=

f(x)

x

+mlnx的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質f（-x）=f（x），已知條件函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1處取得極大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函數y=f（x）的解析式；
（2）根據題意對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，將問題轉化為）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；
（3）已知關于p的一元二次方程p²-2mp+4=0兩個根均大于1，根據根與系數的關系求出m的范圍，利用導數研究函數g（x）的單調性；

解答：解：（1）∵奇函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1處取得極大值2，奇函數f（-x）=-f（x），解得b=0，
可得f′（x）=3ax²+c
由題

b=0 f′(1)=0 f(1)=2

，解得

a=-1 b=0 c=3

，f（x）=-x³+3x；
（2）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
根據（1）可得f（x）=-x³+3x；
求導得f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，
當f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）為增函數，
當f′（x）＜0時即x＞1或x＜-1，f（x）為減函數，
f（x）在x=1處取極大值f（1）=2，在x=-1處取得極小值f（-1）=-，2；
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
要使對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值為4；
（3）p²-2mp+4=0兩個根均大于1，
則求得2≤m＜

5

2

，g（x）=-x²+3+mlnx，則x＞0．
g′(x)=-2x+m•

1

x

=

-2x2+m

x

．
而2≤m＜

5

2

，則x∈(0，

m 2

)時，g'（x）＞0，
故(0，

m 2

)是g（x）的單調增區間，x∈(

m 2

，+∞)時，g'（x）＜0，故(

m 2

，+∞)是g（x）的單調減區間．

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查的知識點比較全面是一道中檔題，這類題是高考的熱點問題；