Question

【題目】已知命題p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命題q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}

（Ⅰ）若A∩B=，A∪B=R，求實數a的值；

（Ⅱ）若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．

【解析】試題分析：首先化簡集合B，根據A∩B=，A∪B=R，說明集合A為集合B在R下的補集，根據要求列出方程求出a,第二步從集合的包含關系解決充要條件問題，p是q的充分條件說明集合A是集合B的子集，根據要求列出不等式組，解出a的范圍.

試題解析：

（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，

由A∩B=，A∪B=R，得 ，得a=2，

所以滿足A∩B=，A∪B=R的實數a的值為2；

（Ⅱ）因p是q的充分條件，所以AB，且A≠，所以結合數軸可知，

a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，

所以p是q的充分條件的實數a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．