Question

已知正四棱錐的側面是正三角形，設側面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側面所成的二面角為θ₂，則（　　）

• A．θ1=

  π

  2

  -θ2
• B．θ1=

  π

  2

  -

  θ2

  2

• C．θ₁=θ₂
• D．θ1=

  θ2

  2

Answer 1

分析：由已知中正四棱錐的側面是正三角形，側面與底面所成的二面角為θ₁，相鄰兩側面所成的二面角為θ₂，我們可以畫出滿足條件的圖形，結合二面角的定義，我們可以找到θ₁，θ₂對應的平面角，解三角形求出它們的三角函數值，進而可以判斷出θ₁與θ₂的關系．

解答：解：正四棱錐S-ABCD中，取AB的中點E，AB的中點F，底面ABCD的中點O，
連接AF，CF，AC，SE，SO，OE，
由正四棱錐的結構特征，易得∠SEO=θ₁，∠AFC=θ₂，
由已知中四棱錐的側面是正三角形，故邊長設為1，
則在△SOE中，SE=

3

2

，OE=

1

2

∴cos∠SEO=cosθ₁=

OE

SE

=

3

3

在△AFC中，AF=FC=

3

2

，AC=

2

則cos∠AFC=cosθ₂=-

1

3

又∵cos2θ₁=2cos²θ₁-1=-

1

3

故θ₂=2θ₁，
即θ1=

θ2

2

故選D

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，其中畫出滿足條件的圖象，找出二面角的平面角，將二面角問題轉化為解三角形問題，是解答本題的關鍵．