Question

已知x，y∈R且x²+y²=1，a，b∈R為常數，t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

則（　　）

A．t有最大值也有最小值

B．t有最大值無最小值

C．t有最小值無最大值

D．t既無最大值也無最小值

Answer 1

分析：直接利用不等式x+y≤

2(x2+y2)

可求出t的最大值，令

m

=（ax，by），

n

=（bx，ay），利用t=

|m|

+

|n|

≥|

m

+

n

|可求最小值．

解答：解：t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

≤

2(a2x2+b2y2+b2x2+a2y2)

=

2(a2+b2)

當且僅當a²x²+b²y²=b²x²+a²y²時取等號
∴t有最大值

2(a2+b2)

令

m

=（ax，by），

n

=（bx，ay）
則t=

a2x2+b2y2

 +

b2x2+a2y2

=

|m|

+

|n|

≥|

m

+

n

|=

(ax+bx)2+(by+ay)2

=|a+b|
∴t有最小值|a+b|
∴t有最大值也有最小值
故選A．

點評：本題主要考查了基本不等式，以及構造法的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．