Question

已知橢圓C₁的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為e=

3

2

，點P為橢圓上一動點，點F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓短軸的上端點為A，點M為動點，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差數列，求動點M的軌跡C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，利用離心率和a，b與c的關系求得a和b的關系，根據橢圓的幾何性質知，當點P為橢圓的短軸端點時，△PF₁F₂的面積最大，進而求得bc的關系，最后聯立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據（1）中的方程求得A和兩焦點坐標，設出M的坐標，利用

F2A

，

F2M

，

AM

，

AF1

根據已知條件求得x和y的關系，點M的軌跡方程可得．

解答：解：（1）設橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，則

c

a

=

3

2

，所以a=2b、
由橢圓的幾何性質知，當點P為橢圓的短軸端點時，
△PF₁F₂的面積最大，故

1

2

|F₁F₂|b=bc=

3

，
解得a=2，b=1．
故所求橢圓方程為

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知A（0，1），F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
設M（x，y），則

F2A

=（-

3

，1），

F2M

=（x-

3

，y），

AM

=（x，y-1），

AF1

=（-

3

，-1）．
由已知條件得x（x-

3

）+y（y-1）=

4

5

-

3

x-y，整理，得M的軌跡C₂的方程為x²+y²=

4

5

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基礎知識的整體把握和綜合運用．