Question

已知圓，Q是圓上一動點，AQ的垂直平分線交OQ于點M，設點M的軌跡為E．
（I）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A、B，△AOB（O是坐標原點）的面積S=，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，由此能求出軌跡E的方程．
（2）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設AB：x=my+1，由，得：（4+m²）y²+2my-3=0，由此能求出直線AB的方程．
解答：（1）解：（1）由題意，
所以軌跡E是以A，C為焦點，長軸長為4的橢圓，…（2分）
即軌跡E的方程為．…（4分）
（2）解：記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意，直線AB的斜率不可能為0，
故可設AB：x=my+1，
由，消x得：（4+m²）y²+2my-3=0，
所以…（7分）
．…（9分）
由，解得m²=1，即m=±1．…（10分）
故直線AB的方程為x=±y+1，
即x+y-1=0或x-y-1=0為所求．…（12分）
點評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的求法，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．