Question

已知定義在（0，+∞）上的三個函數f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h(x)=x-a

x

，且g（x）在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求函數g（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）求函數h（x）的單調區間；
（Ⅲ）把h（x）對應的曲線C₁向上平移6個單位后得到曲線C₂，求C₂與g（x）對應曲線C₃的交點個數，并說明理由．
請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑．

Answer 1

分析：（I）表示出函數g（x）后對其進行求導，將x=1代入導數g'（x）即可得到答案．欲求在點x=2處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（III）表示出C₂的解析式，h₁（x），轉化為求h₁（x）與g（x）的交點個數即可．

解答：解：（I）g（x）=x²-af（x）=x²-alnx，g′(x)=2x-

a

x

，g'（1）=2-a=0
∴a=2經檢驗a=2成立
又g（2）=4-2ln2，g'（2）=3，∴y-4+2ln2=3（x-2）
即函數g（x）在x=2處的切線方程：3x-y-2-2ln2=0
（II）h(x)=x-2

x

，定義域[0，+∞）h′(x)=1-

1

x

，
令h′(x)=1-

1

x

＞0，得x＞1；令h′(x)=1-

1

x

＜0得0＜x＜1，
∴函數h（x）單調遞增區間是（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．
（III）由（1）知g（x）=x²-2lnx，h(x)=x-2

x

，定義域[0，+∞）
∴C₂對應的表達式為h1(x)=x-2

x

+6，問題轉化為求函數g（x）=x²-2lnx與h1(x)=x-2

x

+6圖象交點個數問題，故只需求方程x2-2lnx=x-2

x

+6，即2

x

-2lnx=-x2+x+6根的個數
設h2(x)=2

x

-2lnx，h₃（x）=-x²+x+6，h2′(x)=

1

x

-

2

x

=

x ( x -2)

x x

=

x -2

x

，
當x∈（0，4），h₂^′（x）＜0，h₂（x）為減函數；當x∈（4，+∞），h₂^′（x）＞0，h₂（x）為增函數，而h3(x)=-x2+x+6=-(x-

1

2

)2+

25

4

，圖象是開口向下的拋物線，作出函數h₂（x）與h₃（x）的圖象，h3(

1

2

)=

25

4

，而h2(

1

2

)=

2

-2ln

1

2

=

2

+2ln2＜h3(

1

2

)可知交點個數為2個，即曲線C₂與C₃的交點個數為2個．

點評：本題主要考查通過求函數的導數來確定函數的增減區間的問題．這里要熟記各種函數的求導法則，用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．