Question

函數f（x）的定義域為R，數列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，a₁≠a₂，且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（k為非零常數，n∈N^*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，bn=lnan(n∈N*)，數列{b_n}的前n項和為S_n，對于給定的正整數m，如果

S(m+1)n

Smn

的值與n無關，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，由a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），得到a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．由此能求出k．
（Ⅱ）因為f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），所以a_n+1=ka_n．故an=2•kn-1．所以{b_n}是首項為ln2，公差為lnk的等差數列．由此入手能夠求出實數k．

解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）當n≥2時，
因為a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
所以a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
因為數列{a_n}是等差數列，所以a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
因為 a_n+1-a_n=k（a_n-a_n-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因為f（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），
所以a_n+1=ka_n．
所以數列{a_n}是首項為2，公比為k的等比數列，
所以an=2•kn-1．
所以b_n=lna_n=ln2+（n-1）lnk．
因為b_n-b_n-1=lnk，
所以{b_n}是首項為ln2，公差為lnk的等差數列．
所以 S_n=

(b1+bn)n

2

=n[ln2+

n-1

2

•lnk]．
因為

S(m+1)n

Smn

=

(m+1)n[ln2+ (m+1)n-1 2 lnk]

mnln2+ mn-1 2 lnk]

=

(m+1)[(m+1)nlnk+2ln2-lnk]

m[mnlnk+2ln2-lnk]

，
又因為

S(m+1)n

Smn

的值是一個與n無關的量，
所以

2ln2-lnk

mnlnk

=

2ln2-lnk

(m+1)nlnk

，
解得k=4．…（13分）

點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．