Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為S_n．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，a₁=，a₁≠a₂，若存在互異正整數(shù)m，n，p滿足：①m+p=2n；②．求集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}的元素個數(shù)；
（3）設(shè)b_n=（a為常數(shù)，a＞0，a≠1，a₁≠a₂），數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．對于正整數(shù)c，d，e，f，若c＜d＜e＜f，且c+f=d+e，試比較（T_c）^-1+（T_f）^-1與（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）{a_n}是等差數(shù)列，可以用首項(xiàng)a1和公差d來表示前n項(xiàng)的和為S_n再將其代入的表達(dá)式，再用相鄰兩項(xiàng)作差的方法，得到相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，從而證出數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，先設(shè)（其中α、β為常數(shù)），從而S_n=αn²+βn．將此式代入已知式中第二個等式，通過整理變形得β=0，再結(jié)合結(jié)合首項(xiàng)a₁=，得α=，故S_n=n²．然后利用此表達(dá)式將集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}化簡為{（x，y）|xy=15，x∈N^*，y∈N^*}，根據(jù)15有4個正約數(shù)，得到滿足條件的數(shù)對（x，y）的個數(shù)為4個；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義證出數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，然后證明等比數(shù)列的一個結(jié)論：當(dāng)n＞m時，T_n＞T_n-T_n-m=q^n-mT_m．利用這個結(jié)論，結(jié)合c+f=d+e可以證得（T_c）^-1-（T_d）^-1比（T_e）^-1-（T_f）^-1大，最后通過移項(xiàng)證得（T_c）^-1+（T_f）^-1＞（T_d）^-1+（T_e）^-1．
解答：解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則
，于是（常數(shù)），
故數(shù)列是a₁為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)閧a_n}為等差數(shù)列，所是等差數(shù)列，
于是可設(shè)（其中α、β為常數(shù)），從而S_n=αn²+βn．
因?yàn)閙+p=2n，所以由兩邊平方得
S_m+S_p+=4S_n，即得，
于是，兩邊平方并整理得β²（m-p）²=0．
因?yàn)閙≠p，所以β=0，從而S_n=αn²，而a₁=，所以．
故S_n=n²．所以{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}={（x，y）|=1，x∈N^*，y∈N^*}={（x，y）|xy=15，x∈N^*，y∈N^*}．
因?yàn)?5有4個正約數(shù)，所以數(shù)對（x，y）的個數(shù)為4個．
即集合{（x，y）|S_x•S_y=1，x∈N^*，y∈N^*}中的元素個數(shù)為4．
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182617818450942/SYS201310241826178184509018_DA/20.png">（常數(shù)），
所以數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列．
因?yàn)閍₁≠a₂，所以等比數(shù)列{b_n}的公比q≠1．
（T_c）^-1+（T_f）^-1與（T_d）^-1+（T_e）^-1的大小關(guān)系即（T_c）^-1-（T_d）^-1與（T_e）^-1-（T_f）^-1的大小關(guān)系
注意到當(dāng)n＞m時，T_n＞T_n-T_n-m=q^n-mT_m．
所以T_d＞q^d-cT_c且T_f＞q^f-eT_e⇒（T_c）^-1-（T_d）^-1=＞=（T_e）^-1-（T_f）^-1
移項(xiàng)可得（T_c）^-1+（T_f）^-1＞（T_d）^-1+（T_e）^-1．
點(diǎn)評：本題題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合，是一道難題．著重考查數(shù)列的函數(shù)性性質(zhì)、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)等知識，考查了轉(zhuǎn)化構(gòu)造法、放縮法、數(shù)形結(jié)合等思想方法．