Question

設函數f(x)=ax³+bx²－3a²x+1(a、b∈R)在x=x₁，x=x2處取得極值，且|x₁－x₂|=2.

(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范圍.

Answer 1

解：                     ①  

當a=1時，

 ；

由題意知x₁,x₂為方程的兩根，所以

，得b=0，

從而。

當時，；當時，

故在（-1，1）單調遞減，在單調遞增    

（Ⅱ）由①式即題意知x₁,x₂為方程的兩根，所以，

 

從而

由上式及題設知。

考慮

故g（a）在單調遞增，在單調遞減，從而g（a）在（0，1]的極大值為

，又g（a）在（0，1]上只有一個極值，所以為g（a）在（0，1]上的最大值。且最小值為g（1）=0.

所以，即b的取值范圍為。