Question

【題目】在直角梯形PBCD中，，，，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，如圖．

（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

試題分析：（I）由于只需證，而所以，所以，第一問得證；（II）以分別為軸建立空間直角坐標系，利用平面與平面的法向量來計算二面角的余弦值，進而求出正切值.

試題解析：

（法一）（I）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；

（II）（三垂線法）由考慮在AD上取一點O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可

（法二：空間向量法）

（1）同法一

（2）以A為原點建立直角坐標系，易知平面ACD的法向為，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可

解法一：（1）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，

所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

因為SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B

所以BC⊥平面SAB，

又SA平面SAB，

所以BC⊥SA，

又SA⊥AB，BC∩AB=B

所以SA⊥平面ABCD，

（2）在AD上取一點O，使，連接EO

因為，所以EO∥SA

因為SA⊥平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD，

過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，

則AC⊥平面EOH，

所以AC⊥EH．

所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．

在Rt△AHO中，，

∴，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值為

解法二：（1）同方法一

（2）解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，，）

∴平面ACD的法向為

設平面EAC的法向量為=（x，y，z），，

由，

所以，可取

所以=（2，﹣2，1）．

所以

所以

即二面角E﹣AC﹣D的正切值為