Question

（本小題滿分14分）

已知函數f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數；

當時，，此時在上為減函數；

當時，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數．

⑵ a的取值范圍為．

【解析】

試題分析：⑴，令，

即所以

所以 …………………………………………………………………3分

，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數；

當時，，此時在上為減函數；

當時，此時在上為減函數，在上為增函數，在上為減函數． ………………………………………………………………………………6分

⑵ 當時，，則在上為增函數，在上為減函數

又

∴在上的值域為 ………………………………………8分

又在上為增函數，其值域為……10分

等價于……………………………………………12分

存在使得成立，只須

，又

∴a的取值范圍為． ………………………………………………………………14分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性，恒成立問題。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）涉及恒成立問題，轉化成求函數的最值，這種思路是一般解法，往往要利用“分離參數法”，本題最終化為最值之間故選的研究，體現考題“起點高，落點低”的特點。