Question

已知四棱椎S-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，每條側(cè)棱長(zhǎng)都是2

2

，P是側(cè)棱SD上的點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接SO，根據(jù)等腰△ACS中，SO是底邊的中線，可得AC⊥SO，結(jié)合正方形ABCD中AC⊥BD，證出AC⊥平面SBD，從而得到AC⊥SD；
（II）連結(jié)OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，可得AC⊥OP且AC⊥OD，因此∠POD是二面角P-AC-D的平面角．Rt△SDO中，利用余弦算出∠SDO=60°，從而得到Rt△POD中∠POD=30°，即得二面角P-AC-D的大小．

解答：解：（I）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接SO
∵△ACS中，SA=SC=2

2

，O是AC中點(diǎn)，∴AC⊥SO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，SO∩BD=O
∴AC⊥平面SBD，
∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD；
（Ⅱ）∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，SD=2

2

∴OD=

2

2

×2=

2

，
可得Rt△SDO中，cos∠SDO=

OD

SD

=

1

2

，得∠SDO=60°，
連結(jié)OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
∴AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
∵SD⊥平面PAC，可得SD⊥OP，
∴Rt△POD中，∠POD=90°-∠SDO=30°，即二面角P-AC-D的大小為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題給出側(cè)棱長(zhǎng)為底面邊長(zhǎng)的

2

倍的正四棱錐，求證線線垂直并求垂直于側(cè)棱的平面與底面所成的求二面角的大小，著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角大小的求法和正棱錐的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．