Question

已知△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D為AB的中點，E，F分別在線段AC，BC上，且EF∥AB，EF交CD于G，把△ADC沿CD折起，如圖所示，

（1）求證：E₁F∥平面A₁BD；
（2）當二面角A₁-CD-B為直二面角時，是否存在點F，使得直線A₁F與平面BCD所成的角為60°，若存在求CF的長，若不存在說明理由．

Answer 1

（1）∵AC=BC，且D為AB的中點，∴CD⊥AB，
又∵EF∥AB，∴EF⊥CD…（2分）
在空間幾何體C-A₁BD中，
∵GE₁∥DA₁，GE₁?平面A₁BD，DA₁?平面A₁BD，∴GE₁∥平面A₁BD
同理可得：GF∥平面A₁BD
∵GE₁、GF是平面E₁FG內的相交直線，
∴平面E₁FG∥平面A₁BD…（5分）
∵E₁F?平面E₁FG，∴E₁F∥平面A₁BD…（7分）
（2）∵二面角A₁-CD-B為直二面角，∴平面A₁CD⊥平面BCD
∵A₁D⊥CD，平面A₁CD∩平面BCD=CD，A₁D?平面A₁CD
∴A₁D⊥平面BCD，…（9分）
可得A₁F在平面BCD內的射影為DF，得∠A₁FD就是A₁F與平面BCD所成角，
即∠A₁FD=60°…（11分）
∵Rt△A₁FD中，A₁D=

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，∴DF=1=CD
∵△CDF中，∠DCF=60°，∴△CDF為等邊三角形，可得CF=1．
因此，存在點F使得直線A₁F與平面BCD所成的角為60°，此時CF的長為1．…（14分）