Question

【題目】已知F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，M為AB中點，點M到x軸的距離為d，|AB|=2d+1．
（1）求p的值；
（2）過A，B分別作C的兩條切線l1 ， l2 ， l1∩l2=N．請選擇x，y軸中的一條，比較M，N到該軸的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線C的準線為m，如圖，過A，B，M分別作直線m的垂線，垂足分別為A1，B1，M1．

，

所以 ，所以p=1

（2）解：由（1）得，拋物線 ，

因為直線l不垂直于x軸，可設 ．

由 ，消去y得，x2﹣2kx﹣1=0，

由韋達定理得， ，

所以 ．

拋物線C：x2=2y，即 ，故y'=x，

因此，切線l1的斜率為x1，切線l1的方程為y=x1（x﹣x1）+y1，

整理得 ①，

同理可得 ②，

聯立①②并消去y，得 ，

把 代入①，得 ，故 ．

因為xM=xN， ，

所以M，N到y軸的距離相等；M到x軸的距離不小于N到x軸的距離．

（注：只需比較M，N到x軸或y軸的距離中的一個即可）

【解析】（1）利用拋物線的定義，建立方程，即可得出結論；（2）判斷xM=xN， ，即可得出結論．