Question

【題目】設雙曲線C：－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A，B．

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)設直線l與y軸的交點為P，且，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）e>且e≠；（2）a＝.

【解析】

（1）由直線與雙曲線聯立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，結合條件得，從而可得離心率范圍；

（2）設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x1＝x2，由根與系數的關系可得－＝，從而得解.

(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①

∴解得0<a<且a≠1.

又雙曲線的離心率e＝，∴e>且e≠.

(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．

∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．

由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根與系數的關系，得x2＝－， ＝－.

消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.