Question

已知圓C過點M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出圓的一般式方程，表示出圓心坐標，把圓心坐標代入到直線x+2y+1=0中得到一個關于D，E及F的方程，然后把M與N的坐標代入所設的圓的方程，得到兩個關于E，F及D的方程，三個方程聯立即可求出D，E及F的值，確定出圓C的方程；
（2）利用反證法，先假設滿足題意得點存在，根據線段垂直平分線的性質得到圓心C必然在直線l上，由點C與點P的坐標求出直線PC的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線AB的斜率，進而求出實數a的值，然后由已知直線ax-y+1=0，變形得到y=ax+1，代入（1）中求出的圓C的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，即可求出a的取值范圍，發現求出的a的值不在此范圍中，故假設錯誤，則不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．
解答：解：（1）設圓C的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0
則有（2分）
解得（4分）
∴圓C的方程為：x²+y²-6x+4y+4=0；（5分）
（2）設符合條件的實數a存在，
由于l垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在l上．
所以l的斜率k_PC=-2，
而，所以．（7分）
把直線ax-y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+6（a-1）x+9=0．
由于直線ax-y-1=0交圓C于A，B兩點，
故△=36（a-1）²-36（a²+1）＞0，
即-2a＞0，解得a＜0．
則實數a的取值范圍是（-∞，0）．（9分）
由于，假設錯誤，
故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．（10分）
點評：此題考查了利用待定系數法求圓的一般式方程，垂直平分線的性質及方程與函數的綜合．此題第二問利用的方法是反證法，此方法的步驟為：先否定結論，然后利用正確的推理得出與已知，定理及公理矛盾，得到假設錯誤，故原結論成立．