已知點
、
，動點
滿足：
，且
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）已知圓W：
的切線
與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經過坐標原點
.
（1）
；（2）證明詳見解析.
解析試題分析：（1）針對
點的位置：點在線段
上、點在
軸上且在線段外、點不在軸上進行分類確定點的軌跡，前兩種只須簡單的檢驗即可，當點不在軸上時，在
中，應用余弦定理得
，化簡得到
，再根據圓錐曲線的定義，可知動點在以
為兩焦點的橢圓上，由橢圓的相關參數即可寫出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程；（2）先驗證直線斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線斜率存在且不為0的情況，此時先設直線
，設點
，聯立直線與軌跡
的方程，消去
得到
，進而求出
及
，得到
，利用直線與圓相切得到
，代入
式子中，即可得到
，從而問題得證.
試題解析：（1）①當點在線段上時
不存在或
，均不滿足題目條件 1分
②當點在軸上且在線段外時，
，設
由可得
∴
∴
3分
③當點不在軸上時，
在中，由余弦定理得
，即動點在以為兩焦點的橢圓上
方程為：（
）
綜和①②③可知：動點的軌跡的方程為： 6分
（2）①當直線的斜率不存在時
∵直線與圓
相切，故切線方程為
或
切線方程與聯立方程組
可求得
口算題天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－
(p>2)．若拋物線C：y2＝2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線上任意一點M處的切線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為雙曲線
的一個焦點，且兩條曲線都經過點
.
（1）求這兩條曲線的標準方程；
（2）已知點
在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構成的三角形的面積為4，求點 的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知△
的兩個頂點
的坐標分別是
，
，且
所在直線的斜率之積等于
．
（1）求頂點
的軌跡
的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當
時，過點
的直線
交曲線
于
兩點，設點
關于
軸的對稱點為
(
不重合)， 試問：直線
與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2
，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知
＝λ
，
＝λ
，其中0＜λ＜1．
（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：
＋y2＝1上；
（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動直線
與橢圓
交于
、
兩不同點，且△
的面積
=
，其中
為坐標原點.
（1）證明
和
均為定值；
（2）設線段
的中點為
，求
的最大值；
（3）橢圓
上是否存在點
，使得
？若存在，判斷△
的形狀；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知
分別是橢圓
的左、右焦點，橢圓
與拋物線
有一個公共的焦點，且過點
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)設點
是橢圓在第一象限上的任一點,連接
,過點作斜率為
的直線
,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為
,
,試證明
為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作
，設
交
于點
，
證明:當點
在橢圓上移動時，點在某定直線上.
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過點
，離心率為
.
的方程；
且斜率為
的直線被橢圓所截得線段的中點坐標.