Question

如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊，兩個銳角,的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點．

（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若角的終邊與單位圓交于點，設角的正弦線分別為
，試問：以作為三邊的長能否構成一個三角形？若能，請加以證明；若不能，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）以作為三邊的長能構成一個三角形.

試題分析：（Ⅰ）∵0<α<，  tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.
又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin²β＝，sin2β＝＝.
于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.
由已知條件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.  6分
（Ⅱ）解：以作為三邊的長能構成一個三角形，證明如下：
∵，∴ 
∴，，
∵，所以，，于是有：
①   8分
又∵，∴，于是有：
②
同理：③
由①②③可知，以作為三邊的長能構成一個三角形. 12分
點評：第一問涉及到基本公式有
，求角的大小常首先求角的某一三角函數值，結合角的范圍即可求出；第二問判定能否構成三角形即判定三邊長是否有任意兩邊之和大于第三邊，確定不等式關系主要借助于正余弦函數的有解性