Question

已知數列{a_n}，a_n=pⁿ+λqⁿ（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求證：數列{a_n+1-pa_n}為等比數列；
（2）數列{a_n}中，是否存在連續的三項，這三項構成等比數列？試說明理由；
（3）設A={（n，b_n）|b_n=3ⁿ+kⁿ，n∈N*}，其中k為常數，且k∈N^*，B={（n，c_n）|c_n=5ⁿ，n∈N*}，求A∩B．

Answer 1

分析：（1）根據a_n=pⁿ+λqⁿ可得a_n+1-pa_n的表達式，整理可得

an+2-pan+1

an+1-pan

為常數，進而可判斷數列{a_n+1-pa_n}為等比數列．
（2）取數列{a_n}的連續三項a_n，a_n+1，a_n+2把a_n=pⁿ+λqⁿ代入a_n+1²-a_na_n+2整理可知結果不為0，進而可判斷a_n+1²≠a_na_n+2，即數列{a_n}中不存在連續三項構成等比數列；
（3）由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ整理得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，設f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x則可知f（x）為減函數，故可判定f（x）=1的解只有一個，從而當且僅當n=1，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ成立，同樣的道理可證當k=1，k=3或k≥5時，B∩C=∅；當k=2時，B∩C={（1，5）}，當k=4時，B∩C={（2，25）}．

解答：解：（1）∵a_n=pⁿ+λqⁿ，
∴a_n+1-pa_n=pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹-p（pⁿ+λqⁿ）=λqⁿ（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴

an+2-pan+1

an+1-pan

=q為常數
∴數列{a_n+1-pa_n}為等比數列
（2）取數列{a_n}的連續三項a_n，a_n+1，a_n+2（n≥1，n∈N^*），
∵a_n+1²-a_na_n+2=（pⁿ⁺¹+λqⁿ⁺¹）²-（pⁿ+λqⁿ）（pⁿ⁺²+λqⁿ⁺²）=-λpⁿqⁿ（p-q）²，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpⁿqⁿ（p-q）²≠0，即a_n+1²≠a_na_n+2，
∴數列{a_n}中不存在連續三項構成等比數列；
（3）當k=1時，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+1＜5ⁿ，此時B∩C=∅；
當k=3時，3ⁿ+kⁿ=3ⁿ+3ⁿ=2•3ⁿ為偶數；而5ⁿ為奇數，此時B∩C=∅；
當k≥5時，3ⁿ+kⁿ＞5ⁿ，此時B∩C=∅；
當k=2時，3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，發現n=1符合要求，
下面證明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ得(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
設f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x，則f(x)=(

3

5

)x+(

2

5

)x是R上的減函數，
∴f（x）=1的解只有一個
從而當且僅當n=1時(

3

5

)n+(

2

5

)n=1，
即3ⁿ+2ⁿ=5ⁿ，此時B∩C={（1，5）}；
當k=4時，3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，發現n=2符合要求，
下面同理可證明唯一性（即只有n=2符合要求）．
從而當且僅當n=2時(

3

5

)n+(

4

5

)n=1，
即3ⁿ+4ⁿ=5ⁿ，此時B∩C={（2，25）}；
綜上，當k=1，k=3或k≥5時，B∩C=∅；
當k=2時，B∩C={（1，5）}，
當k=4時，B∩C={（2，25）}．

點評：本題主要考查了等比數列的確定和集合的相關知識．考查了學生分析和運算能力．