Question

已知定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），及定點(diǎn)F（1，0），定直線l：x=4，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離是它到定直線l的距離的

1

2

倍，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，點(diǎn)C是軌跡E上的任一點(diǎn)，直線AC與BC分別交直線l與點(diǎn)P，Q．
（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)F，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的第二定義即可知道點(diǎn)M的軌跡E為橢圓；
（2）設(shè)出橢圓上的點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線AC、BC的方程，分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，只要判斷k_PF•k_QF=-1是否成立即可．

解答：解：（1）由橢圓的第二定義可知：
點(diǎn)M的軌跡E是以定點(diǎn)F（1，0）為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

，直線l：x=4為準(zhǔn)線的橢圓（除去與x軸相交的兩點(diǎn)）．
∴c=1，

c

a

=

1

2

，∴a=2，b²=2²-1²=3，
∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓E，其方程為

x2

4

+

y2

3

=1（除去（±2，0））．
（2）以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F．下面給出證明：
如圖所示：設(shè)C（x₀，y₀），（x₀≠±2），則直線AC的方程為：y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，則y_P=

6y0

x0+2

，∴P(4，

6y0

x0+2

)，∴kPF=

6y0 x0+2

4-1

=

2y0

x0+2

；
直線BC的方程為：y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=4，則y_Q=

2y0

x0-2

，∴Q(4，

2y0

x0-2

)，∴k_QF=

2y0 x0-2

4-1

=

2y0

3(x0-2)

．
∴k_PF•k_QF=

2y0

x0+2

×

2y0

3(x0-2)

=

4y02

3(x02-4)

，
∵點(diǎn)C（x₀，y₀）在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，∴

4y02

3(x02-4)

=-1，
∴k_PF•k_QF=-1．
因此以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)F．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、直線垂直與斜率的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．