Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題意

【解析】

（1）由題意得，再根據(jù)右焦點(diǎn)為，求出的值，就可得到的值，再根據(jù)，，的關(guān)系，解出值，則橢圓方程可知；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，求出，，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，以及，要使其為常數(shù)，只需要，化簡(jiǎn)，可求出的值，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，同樣求出的值，兩者一致，所以在軸上存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù).

（1）由題意可知，，又，解得，

所以，所以橢圓的方程為．

（2）若直線不l垂直于x軸，可設(shè)的方程為．

由得．

．

設(shè)，，則，．

設(shè)，則，，

要使得（為常數(shù)），只要，

即．

對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，要使式恒成立，

只要，解得．

若直線l垂直于x軸，其方程為，

此時(shí)，直線l與橢圓兩交點(diǎn)為，，

取點(diǎn)，有，，

．

綜上所述，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在定點(diǎn)，使得．