Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|（n∈N^*），f（x）的最小值記為a_n．數形結合可得a₁=0，a₂=1，…則a₃=

 

，當n是奇數時，a_n=

 

．

Answer 1

分析：利用絕對值的幾何意義，f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|為數軸上點x到點1.2．…，n距離之和．利用數軸求出a₃，，并結合a₁=0 歸納當n是奇數時的表達式．

解答：解：絕對值的幾何意義，f（x）=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|為數軸上點x到點1.2．…，n距離之和．
當n=3時，f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|，如圖
由絕對值的幾何意義，
點A當且僅當在2處時，A到點1，2，3距離之和最小，和值為1+1=2 即a₃=2 
又a₁=0=

12- 1

4

，a₃=2=

32- 1

4

，歸納得出當n是奇數時 a_n=

n2- 1

4

．
故答案為2，

n2- 1

4

點評：本題考查函數的最值，絕對值的幾何意義，數形結合的思想、及歸納推理的思維方法．