Question

（本小題滿分14分）已知區域的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率．

⑴求圓C及橢圓C₁的方程；

⑵設圓與軸正半軸交于點D，點為坐標原點，中點為，問是否存在直線與橢圓交于兩點，且？若存在，求出直線與夾角的正切值的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

，

【解析】解：⑴由題意可知，區域是以及點為頂點的三角形，

∵，∴為直角三角形．                        ……2分

∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2a=4，∴a=2．

又，∴，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是．                                               ……6分

⑵點坐標為，故點坐標為，顯然可滿足要求；時不滿足題意．                                                               ……8分

當時，設的方程為，

由，得，

由，得；             ……10分

設，的中點為，

則．

，即，解得．

……12分

，得．

綜上，直線與夾角的正切值的取值范圍是．          ……14分