Question

已知實數x、y滿足約束條件

x+y≤3  y≥1 x≥1

，則z=x²+y²的最小值為

2

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，設P（x，y），可得x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值，因此運動點P并加以觀察可得|OP|的最小值為

2

，即可得到z=x²+y²的最小值．

解答：解：作出不等式組

x+y≤3  y≥1 x≥1

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，
其中A（1，1），B（1，2），C（2，1）
設P（x，y）為區域內一個動點
則|OP|=

x2+y2

，
因此z=x²+y²=|OP|²表示O、P兩點距離的平方之值
∵當P與A重合時|OP|=

12+12

=

2

達到最小值，
∴|OP|²的最小值為2，z=x²+y²的最小值為2
故答案為：2

點評：本題給出二元一次不等式組，求x²+y²的最值，著重考查了兩點的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．