Question

已知關于x的方程x²+2ax+b=0，其中，，b∈[0，2]．

（1）求方程有實根的概率；

（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有實根的概率．

Answer 1

考點：

幾何概型；古典概型及其概率計算公式．

專題：

概率與統計．

分析：

根據題意，由一元二次方程的性質，可得x²+2ax+b=0有實根的充要條件為b≤a²，

（1）由題意分析可得，這是幾何概型，將表示為平面區域，進而可得其中滿足b≤a²的區域的面積，由幾何概型公式，計算可得答案．

（2）由題意分析可得，這是古典概型，由a、b分別從{﹣1，0，1}，{0，1，2}中任取的數字，易得一共可以得到9個不同方程；可得滿足b≤a²的全部情況數目，結合古典概型公式，計算可得答案．

解答：

解：方程x²+2ax+b=0有實根⇔△≥0⇔4a²﹣4b≥0⇔b≤a²，

（1）點（a，b）所構成的區域為，

面積S_Ω=；

設“方程有實根”為事件A，所對應的區域為，

其面積，

這是一個幾何概型，所以

（2）因為a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9個，分別是：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（0，1），（1，1），（﹣1，2），（0，2），（1，2），

其中，滿足△≥0即b≤a²的有5個：（﹣1，0），（0，0），（1，0），（﹣1，1），（1，1）．

設“方程有實根”為事件B，這是一個古典概型，所以

答：（1）所求概率為；（2）所求概率為．

點評：

本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，注意兩者的不同．