Question

（2013•松江區二模）如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是2．
（1）求異面直線A₁C與B₁C₁所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）求三棱錐C-ABC₁的體積VC-ABC1．

Answer 1

分析：（1）連接A₁B，由三棱柱的性質得C₁B₁∥CB，從而得到∠A₁CB（或其補角）是異面直線A₁C與B₁C₁所成角．然后在△A₁CB中計算出各邊的長，再根據余弦定理算出cos∠A₁CB=

2

4

，即可得到異面直線A₁C與B₁C₁所成角的大小；
（2）由棱柱體積公式，算出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為2

3

，而三棱錐C₁-ABC與正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，得到VC1-ABC =

1

3

VABC-A1B1C1=

2

3

3

，由此不難得到三棱錐C-ABC₁的體積VC-ABC1的值．

解答：解：（1）連接A₁B，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁B₁∥CB，
∴∠A₁CB（或其補角）是異面直線A₁C與B₁C₁所成角．
∵四邊形AA₁C₁C與AA₁B₁B都是邊長為2的正方形
∴|A1C|=|A1B|=2

2

，
△A₁CB中根據余弦定理，得cos∠A₁CB=

8+4-8

2×2 2 ×2

=

2

4

因此，∠A₁CB=arccos

2

4

，
即異面直線A₁C與B₁C₁所成角的大小為arccos

2

4

．
（2）由題意得
∵△ABC的面積S_△ABC=

3

4

•22=

3

，高CC₁=2
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V=S_△ABC×CC₁=2

3

而三棱錐C₁-ABC與正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高
∴三棱錐C₁-ABC的體積為VC1-ABC =

1

3

VABC-A1B1C1=

2

3

3

，
∵VC-ABC1=VC1-ABC ，
∴三棱錐C-ABC₁的體積為

2

3

3

．

點評：本題給出所有棱長均相等的正三棱柱，求異面直線所成角并求三棱錐的體積，著重考查了異面直線所成角的求法和錐體、柱體體積公式等知識，屬于中檔題．