Question

已知函數 f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f(x)≥

2

e2

對任意x∈[-2，-1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（Ⅱ）代入特殊值縮小a的范圍，然后根據a的范圍確定函數f（x）的導函數的符號，從而得到f（x）在[-2，-1]上的單調性，最后根據恒成立只需f(x)min≥

2

e2

恒成立即可．

解答：（Ⅰ）解：當a=-1時，f（x）=-x²e^x，f（1）=-e．f'（x）=-x²e^x-2xe^x，…（2分）
因為切點為（1，-e），則k=f'（1）=-3e，…（4分）
所以在點（1，-e）處的曲線的切線方程為：y=-3ex+2e．    …（5分）
（Ⅱ）解：由題意得，f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，即a≥

1

5

．      …（9分）
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）f'（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]，…（10分）
因為a≥

1

5

，所以f'（x）＞0恒成立，
故f（x）在[-2，-1]上單調遞增，…（12分）
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，則f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．…（15分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．