Question

已知P是橢圓上一點，F是橢圓的一個焦點，則以線段PF為直徑的圓和以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系是（　　）

• A、相離
• B、內切
• C、內含
• D、可以內切，也可以內含

Answer 1

分析：設F、F'分別是橢圓的左右焦點，作出以PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．設PF的中點為M，連結PF'，利用三角形中位線定理與橢圓的定義，證出|OM|=

1

2

|PF'|=a-

1

2

|PF|，得到兩圓的圓心距等于它們半徑之差，從而得到兩圓的位置關系是相內切．

解答：解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F、F'分別是橢圓的左右焦點，
作出以線段PF為直徑的圓和以長軸為直徑的圓x²+y²=a²，如圖所示．
設PF中點為M，連結PF'，
∴OM是△PFF'的中位線，可得|OM|=

1

2

|PF'|，即兩圓的圓心距為

1

2

|PF'|
根據橢圓定義，可得|PF|+|PF'|=2a，
∴圓心距|OM|=

1

2

|PF'|=

1

2

（2a-|PF|）=a-

1

2

|PF|，
即兩圓的圓心距等于它們半徑之差，
因此，以PF為直徑的圓與以長半軸為直徑的圓x²+y²=a²相內切．
故選：B

點評：本題給出橢圓以一條焦半徑為直徑的圓和以長軸為直徑的圓，求兩圓的位置關系．著重考查了圓與圓的位置關系及其證明、橢圓的定義與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．