Question

（本小題滿分12分）
數(shù)列的前n項和為，且（）．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)（），是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，恒成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)
(2) （
(3) 存在實數(shù)，使得（）恒成立，且

解：（Ⅰ）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，知滿足該式，
∴數(shù)列的通項公式為． 2分
（Ⅱ）   （）  ①
∴（）  ②
①－②得：（）．
∴（），   4分
當(dāng)時，，，滿足上式．
∴數(shù)列的通項公式（） 6分
（Ⅲ）存在實數(shù)．  7分
，假設(shè)存在，使得（）恒成立，
∴，
∴
即， 8分
①當(dāng)為正偶數(shù)時，即恒成立，
∴，
當(dāng)時，，∴．   10分
②當(dāng)為正奇數(shù)時，恒成立，
∴，
當(dāng)時，，∴．
綜上，存在實數(shù)，使得（）恒成立，且．  12分